LeetCode 96. Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1 … n?

Example:

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解析：给定n个数，计算所有不同的二叉树个数。

解析：我们先来看当 n = 1 的情况，只能形成唯一的一棵二叉搜索树，n分别为 1,2,3 的情况如下所示：

                    1                        n = 1

                2        1                   n = 2
               /          \
              1            2
  
   1         3     3      2      1           n = 3
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

就跟斐波那契数列一样，我们把 n = 0 时赋为1，因为空树也算一种二叉搜索树，那么 n = 1 时的情况可以看做是其左子树个数乘以右子树的个数，左右子树都是空树，所以1乘1还是1。那么 n = 2 时，由于1和2都可以为根，分别算出来，再把它们加起来即可。n = 2 的情况可由下面式子算出（这里的 dp[i] 表示当有i个数字能组成的 BST 的个数）：

dp[2] =  dp[0] * dp[1]　　　(1为根的情况，则左子树一定不存在，右子树可以有一个数字)

　　　　+ dp[1] * dp[0]　　  (2为根的情况，则左子树可以有一个数字，右子树一定不存在)

同理可写出 n = 3 的计算方法：

dp[3] =  dp[0] * dp[2]　　　(1为根的情况，则左子树一定不存在，右子树可以有两个数字)

　　　　+ dp[1] * dp[1]　　  (2为根的情况，则左右子树都可以各有一个数字)

 　　　  + dp[2] * dp[0]　　  (3为根的情况，则左子树可以有两个数字，右子树一定不存在)

归纳一下即：

假设有n个节点存在二叉排序树的个数是G(n),令f(i)为以i为根的二叉搜索树的个数，则
\( G(n)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(n)\)

当i为根节点时，其左子树节点个数为i−1个，右子树节点为n−i,则
\(f(i)=G(i−1)∗G(n−i)\)

综合这两个公式可以得到卡特兰数公式
\(G(n)=G(0)∗G(n−1)+G(1)∗(n−2)+…+G(n−1)∗G(0)\)

代码如下：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0]=dp[1] = 1;
        for(int i=2; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 0; j < i; j++)
            {
                dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

参考：

https://blog.csdn.net/weixin_35770067/article/details/106119679?fps=1&locationNum=2

https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4299608.html